Математичний словник

Г

ГЕОМЕТРІЯ [грецьке geometria — землевпо­рядкування (землеміряння), від ge або gea – земля і metreo – міряю, вимірюю]. Походження терміну «геометрія» з'ясував Евдем Родоський (320 р. до н. е.): «Геометрія була відкрита єгиптянами і виник­ла у зв'язку з розливами ріки Нілу, які постійно зми­вали межі. Немає нічого дивного в тому, що ця наука, як і інші, виникла з потреб людини. Усяке знання, що виникає з недосконалого стану, переходить у досконалий. Зароджуючись через чуттєве сприймання, воно поступово стає предметом нашого розгляду і, зрештою, стає над­банням розуму». Як у Єгипті, так і у Вавілоні, Китаї, Індії багато геометричних відомостей було добуто в ре­зультаті практики будівництва зерносховищ, будинків, іригаційних споруд тощо. У стародавніх греків «геомет­рія» означала вже математичну науку, а для науки про вимірювання землі було введено термін геодезія.

Геометрія – математична наука про просторові фор­ми і відношення тіл. У більш загальному розумінні гео­метрія охоплює різноманітні математичні теорії, прина­лежність яких до геометрії визначається не тільки схо­жістю їх предмета із звичайними просторовими формами і відношеннями, а також і тим, що вони історично скла­лись і складаються на основі геометрії в первісному її значенні і в своїх побудовах виходять з аналізу й узагаль­нення досвіду оперування з просторовими відношеннями і формами конкретних тіл. Геометрія в цьому загально­му розумінні тісно переплітається з іншими розділами математики, і її межі не є точними.

У розвитку геометрії можна вказати чотири основні періоди, переходи між якими означали якісні зміни в геометрії.

Перший період – період зародження геометрії як ма­тематичної науки, початок якого губиться в глибині століть, а кінцем можна вважати V ст. до н. е. Це був період установлення перших залежностей між геометрич­ними образами і нагромадження фактів. Почався він у Стародавньому Єгипті і Вавілоні. У VII ст. до н. е. початкові геометричні відомості були перенесені в Гре­цію, де протягом кількох століть доповнювались новими фактами і оформлялись у струнку систему на основі знайдених способів доведень.

Другий період – період створення і дальшого розвит­ку геометрії як самостійної науки. Починається він при­близно в V ст. до н. е., коли Гіппократ Хіоський зробив спробу систематичного викладу геометрії. Дійшли до нас і відіграли вирішальну роль «Начала» Евкліда, що з'яви­лися близько 300 р. до н. е. Тут геометрію було подано так, як її в основному розуміють і тепер, якщо обме­жуватись елементарною геометрією, – як науку про най­простіші просторові форми і відношення, яка розвиває­ться в логічній послідовності на основі явно сформульо­ваних основних положень – аксіом і основних просторових уявлень. Це так звана геометрія Евкліда. Протягом другого періоду геометрія Евкліда, зберігаючи основні принципи, збагачувалась новими фактами і методами. Розвиткові геометрії сприяли вчені Греції, арабського Сходу, Середньої Азії, Індії, Китаю, середньовічної Європи.

Третій період починається в XVII ст., коли заро­дження і бурхливий розвиток капіталізму дали поштовх розвиткові природознавства і математики. Р. Декорт вводить у геометрію метод координат, що приводить зго­дом до виникнення геометрії аналітичної і пізніше гео­метрії диференціальної. На цьому етапі геометрія як наука набуває істотно нових якостей — вона вже розгля­дає набагато загальніші фігури і застосовує істотно нові методи. Ці напрями остаточно оформились у працях Л. Ейлера (1748), А. Клеро (1742), Г. Монжа (1795), К. Гаусса (1822). Геометрія проективна зародилась у першій половині XVII ст. в працях Ж. Дезарга і Б. Па­скаля, а оформилась у працях Ж. Понселе (1822) та ін. Г. Монж заклав основи геометрії нарисної.

Четвертий період розвитку геометрії починається з відкриття М.І.Лобачевського (1826, опубліковано 1829-1830), який побудував нову, неевклідову геометрію, що називається тепер геометрією Лобачевського. Незалежно від М. І. Лобачевського в 1832 р. аналогічну працю опублікував угорський учений Я. Бойяй, але в менш розвинутій формі. Ідеями неевклідової геометрії володів і К. Гаусе, але він за свого життя з цього питання нічого не опублікував. Відкриття М. І. Лобачевського мало велике значення як для самої геометрії, так і для інших математичних наук. Ідеї Лобачевського і Гаусса розвинув Б. Ріман (1854). У напрямах, накреслених видатни­ми математиками минулого століття, розвивається сучас­на геометрія. Одним з важливих розділів сучасної гео­метрії є топологія. Геометричні теорії тісно переплітаю­ться з іншими галузями математикзокрема з алгеброю.

ГЕКСАЕДР (ЕКСАЕДР) [hex – шість hedra – основа, поверхня, сторона] –шестигран­ник, тіло, обмежене шістьма площинами, гранями (сторо­нами). Правильним гексаедром, одним з п'яти типів пра­вильних многогранників (платонових тіл), є куб.

ГЕКТАР [французьке hectare, від грецького hekaton – сто і латинського area — площа, поверхня] – метрична одиниця площі, земельної міри, що дорівнює 100 арам, або 10 000 кв. м. Скорочено позначається га.

ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК – сукупність точок площини або простору, до якої належить кожна точка, що задовольняє певні умови; жодна точка, яка їх не за­довольняє, до цієї сукупності не належить. Під геометричним місцем точок розуміють звичайно лінію або по­верхню. Наприклад, коло (сфера) – це геометричне місце точок площини (простору), однаково віддалених від даної точки – центра.

ГІПОТЕЗА [від грецького hypothesis – осно­ва, допущення, припущення] – науково обґрунтоване припущення, що пояснює відому сукупність явищ. Гіпо­теза стає вірогідною науковою теорією, якщо дослідна перевірка або виявлення нових фактів підтверджують її правильність. Гіпотези відіграють важливу роль у біль­шості наук, концентруючи зусилля дослідників у пев­ному напрямі. У математиці особливо часто користують­ся гіпотезами при доведеннях за допомогою індукції математичної.

ГІПОТЕНУЗА [від грецького hipoteinousa – той, що натягує, стягує] – сторона прямокутного три­кутника, що лежить проти прямого кута. У Евкліда вона так і називається: «сторона, що прямий кут стягує». Можливо, що ця назва пов'язана з практикою побудови прямих кутів на основі теореми, оберненої до теореми Піфагора, за допомогою вірьовки, поділеної на 12 частин (трикутник з сторонами 3, 4 і 5 — прямокутний). 

ГРАДУС [латинське gradus – крок, ступінь] – одини­ця міри плоских кутів (дуг), що дорівнює ¹/₃₆₀ частині плоского центрального кута, який спирається на повне коло; позначається °. Градус поділяється на 60 мінут (1° = 60'), а мінута — на 60 секунд (1'= 60"). Градус застосовують і як одиницю для вимірювання дуг кола. Повне коло дорівнює 360°. 

Довжина дуги кола в 1° дорівнює ^2πR/₃₆₀≈0,0174533R, де R – радіус кола.

Д

 ДЕДУКЦІЯ [від латинського deductio – виведення, відведення, введення] – це логічний умовивід від загаль­ного до конкретного, від загальних суджень до частко­вих або менш    загальних висновків. У науковому пізнанні дедукція нерозривно зв'язана з індукцією.

Дедуктивний метод полягає в тому, що кожне нове твердження виводиться з сукупності раніше встановлених тверджень. Фактично більшість геометричних теорем виводиться дедуктивним методом, проте не завжди у формі строго розчленованих ланцюгів або низки силогізмів. Дедуктивна система побудови або викладання якоїсь теорії полягає в тому, що насамперед встановлюється система первісних понять і первісних відношень між ними. Потім формулюється система аксіом, яка встановлює взаємозв'яз­ки між первісними поняттями і до деякої міри визначає основні поняття та основні відношення між ними. На цій базі вводяться нові похідні поняття за допомогою означень і доводяться різні твердження та наслідки з них.

Теорію дедукції вперше розробив Арістотель (IV ст. до н. е.). У XVII ст. цим питанням займався Р.Декарт.

ДЕКА...   [грецьке deka – десять] застосо­вується в метричній системі мір для десятикратного збільшення оснозної одиниці, наприклад, 1 декаметр (дам) — 10 м, 1 декалітр (дал) = 10 л тощо.

ДЕКАЕДР [від грецьких deka – десять і  hedra – основа, поверхня, сторона]—десятигранник, тобто тіло, обмежене десятьма плоскими гранями. 

ДЕЦИ .. [від латинського decern — десять] застосову­ється в метричній системі мір для зменшення основної одиниці в десять раз, наприклад, 1 дециметр (дм) = = 0,1 м, 1 дециграм (дг) — 0,1 г, 1 децилітр (дл) = 0,1 л тощо.

ДІАГОНАЛЬ [від грецьких dia –через, крізь і goni – кут]. Діагоналлю многокутника називають відрізок прямої, що сполучає дві його вершини,  які  не лежать на одній стороні; n-кутник має ^n(n-3)/₂ діагоналей. Діагональ многогранника — відрізок прямої, що сполучає дві його вершини, які не належать одній грані.

ДІАМЕТР [від грецького diametros – попе­речник]. Діаметром кола (кулі) називають відрізок прямої, що проходить через центр кола (кулі) і обмежений точ­ками перетину цієї прямої з колом (поверхнею кулі). Діаметр кола (кулі) є найбільшою його (її) хордою. Цю властивість діаметра можна взяти за його означення. Діаметром називають також довжину зазначеного відріз­ка. У цьому розумінні діаметр дорівнює двом радіусам. Властивість діаметра ділити коло на дві рівні частини встановив ще Фалес Мілетський (VI ст. до н. е.). Йому також приписують твердження, що вписаний кут, який спирається на діаметр, — прямий.

Діаметром кривої другого порядку називають геомет­ричне місце середин паралельних між собою хорд. Діа­метри еліпса і гіперболи проходять через їх центри; діаметри параболи — прямі, паралельні її осі.

У розумінні поперечника поняття діаметра поширю­ють на будь-які геометричні фігури і множини. Діамет­ром фігури (множини) називають тоді точну межу верх­ню відстаней між різними парами точок, що їй належать. У цьому розумінні діаметр-еліпса дорівнює довжині ве­ликої осі, а діаметр квадрата — довжині його діагоналі.

ДОДЕКАЕДР [від грецьких dodeka – двана­дцять hedra – основа, поверхня, сторона] — два­надцятигранник; це тіло, обмежене дванадцятьма п'яти­кутниками; має З0 ребер, 20 вершин, у кожній з яких сходиться 3 ребра. Правильний додекаедр є одним з п'яти видів правильних многогранників (платонових тіл). Він обме­жений дванадцятьма правильними п'ятикутниками.

                                  З

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ, ЗОЛОТИЙ ПОДІЛ [латинське sectio aurea] – поділ даного відрізка в крайньому і середньому відношенні, тобто поділ відрізка а на дві частини, більша з яких х є середнє пропорціональне між усім відрізком   і   його меншою  частиною a:x=x:(a-x). Звідси х²+ах—а²=0 і  х≈0,62а. Наближені значення дають члени послідовності 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21  і т.д., де 1, 1, 2, З, 5, 8, 13, 21 і т. д. – числа Фібоначчі.

Задача про золотий переріз уперше зустрічається в другій книзі «Начал» Евкліда: «Дану пряму (тобто від­різок за сучасною термінологією) розсікти так, щоб пря­мокутник між цілою і одним з відрізків дорівнював квадратові на решті відрізка». Евклід застосовує золотий переріз при побудові правильних п'яти- і десятикутників, дванадцяти- і двадцятигранників. Проте про золотий переріз очевидно, знали ще піфагореіїці, які вміли будувати правильний п'ятикутник і геометрично розв'язувати задачі, що зводяться до квадратних рівнянь. У середні віки європейські вчені ознайомились із золотим  перерізом з арабських перекладів «Начал» Евкліда. У зв'язку з за­стосуванням золотого перерізу в геометрії,  мистецтві, особливо в архітектурі, інтерес до нього в XV-XVI ст. значно зростає. Леонардо да Вінчі дає йому назву «золотий». Лука Пачіолі присвятив золотому перерізу книжку «Божественна пропорція» (1509). Значну увагу приділяв цьому перерізу Й. Кеплер, який пов'язував його з будовою Всесвіту. Вважали, що золотий переріз є нібито універсальною пропорцією, яка властива як найдоскона­лішим витворам природи, так і найкращим творам ми­стецтва. Йому надавали містичного значення.

І

ІКОСАЕДР [від грецьких eikosi – двадцять і hedra – основа, поверхня, сторона] – двадцятигранник, тіло, обмежене двадцятьма трикутниками; має 30 ребер, 12 вершин; у кожній вершині сходиться 5 ребер. Правильний ікосаедр є одним з п'яти видів правильних многогранників (платонових тіл). Він обмежений двадцятьма рівносторонніми трикутниками.

ІНДУКЦІЯ [латинське inductіо – наведення! – метод міркування, дослідження, що ґрунтується на умовиводах від окремих випадків до загального висновку, від окремих фактів до узагальнень. Індукція завжди тісно зв'язана з дедукцією.

Початки індуктивного методу дослідження зустрічаємо вже в працях Арістотеля, які охоплювали всі сучасні йому галузі знань. Дальша розробка індукції зв'язана з розвитком природознавства в XVI-XVII і наступних століттях. У XVII ст. із спробою філософського узагаль­нення способів дослідження виступив англійський філософ-матеріаліст Ф. Бекон. Він поставив питання про необхідність для пізнання світу експериментальної науки й індукції. Дослідженням індукції займалися також І.Ньютон, Дж.Стюарт та ін.

Розрізняють індукцію неповну, повну і індукцію математичну.

Індукція неповна – це такий умовивід, в якому зроблено висновок на підставі кількох окремих випадків, що узгоджуються з узагальненням, якщо тільки немає жодного випадку, який суперечив би узагальненню. Зрозуміло, що висновок, зроблений з допомогою неповної індукції, є лише ймовірним, поки не дано повного доведення відповідного твердження або поки не виявлено факту, який йому суперечить. Неповна індукція може привести до неправильних висновків навіть тоді, коли висновок роблять на підставі великого числа фактів. Наприклад, значеннями тричлена f(x) = х2 + х + 41 при х = 0, 1, 2, ..., 39 є прості числа, але було б помилкою вважати, що так буде при будь-яких натуральних значеннях х, бо вже f(40) є складене число (Ейлер довів загальну теорему, що ніякий многочлен не може набувати тільки простих значень при цілих значеннях л;).

Незважаючи на цей недолік неповної індукції, вона має наукове значення як джерело і засіб створення нових гіпотез. Так, видатний італійський учений Г. Галілей, скидаючи різні тіла з похилої башти – «падаючої башти» в м. Пізі (Італія), помітив, що час падіння тіл не залежить від їх ваги. Це допомогло йому встановити точні закони вільного падіння тіл. Неповна індукція поряд з аналогією знайшла широке застосування не тільки в математиці, а й у багатьох інших науках; вона відірає велику роль і в шкільній практиці.

Індукція повна – це такий умовивід, за допомогою якого загальний висновок роблять на основі розгляду всіх без винятку випадків. Повна індукція була відома Арістотелю, а тому її іноді називають арістотелевою індукцією.

ІРРАЦІОНАЛЬНИЙ [від латинських іr – не, без і rationalis – розумний, доцільний, відносний] –буквально нерозумний. У математиці цей термін вживають у розумінні «тон, що не має відношення», «несумірний», «нераціональний».

К

КАТЕТ [від грецького kathetos) – прямовисний] – назва кожної з двох сторін прямокутного трикутника, які утворюють прямий кут. Ще в стародавні часи прямокутні трикутники зображали так, щоб одна із сторін, які утворюють прямий кут, була горизонтальною. Відповідно до цього її називали основою. Друга сторона при цьому була прямовисною (висотою) і тому її називали катетом. Назви «основа» і «катет» зустрічаються тільки у математиків пізніших часів (землемірів) і, напевне, у Герона. Обидві сторони, що утворюють прямий кут, почали називати однаково (катети) лише у XVII ст.

КІЛО .. [французьке kilo – тисяча] застосовується для утворення одиниць вимірювання, більших від основної в 1000 раз. Наприклад, кіловат – 1000 вт, кіловольт – 1000 в, кілометр – 1000 м, кілограм – 1000 г і т. д.

КОМБІНАТОРИКА (теорія сполук) [від латинського combinare –з'єднувати, поєднувати] – розділ математики, в якому вивчаються різні можливі сполуки і розміщення довільних предметів (елементів). Розрізняють такі види сполук: розміщення – сполуки з п елементів по к (к <= п), які відрізняються одна від одної або самими елементами, або їх порядком; перестановки – сполуки з п елементів, які різняться між собою тільки порядком елементів (пере­становки є окремим видом розміщень); комбінації – спо­луки з п елементів по k (k <= п), які різняться між со­бою принаймні одним елементом.

Окремі задачі комбінаторики розв'язували ще Ксенократ і Арістотель (IV ст. до н. е.). Індійські математики II ст. до н. е. знали число комбінацій з п елементів по т. Бхаскара (ХІІст.) розглядав перестановки з повтореннями. Виникнення ком­бінаторики як математичної дисципліни припадає на XVII ст. і дуже тісно пов'язане з виникненням і роз­витком теорії ймовірностей. Засновниками комбінаторики вважаються Б. Паскаль, Г. Лейбніц, Дж. Валліс і знач­ною мірою Я. Бернуллі та А. Муавр. Пізніше комбіна­торними задачами займалося багато математиків, у тому числі Л. Ейлер.

           КОНУС [від грецького konos – гострокінцеве тіло, кегля, верхівка шолома] – геометричне тіло, обме­жене конічною поверхнею і площиною, яка перетинає її по замкненій кривій, зокрема еліпсу або колу. Іноді конусом називають саму конічну поверхню. У серед­ній школі вивчають прямий круговий конус – геомет­ричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикут­ника навколо одного з катетів. Другий катет при цьому описує круг – основу конуса. Гіпотенуза є твір­ною конуса.

              КУТ – одна з основних гео­метричних фігур. Кутом нази­вають два промені, які вихо­дять з однієї точки. Промені називають сторонами кута, а їх спільну точку – його вершиною. При цьому іноді зазначають, яка з двох частин площини є «внутрішньою» відносно кута. Кут означають також як частину площини, обмежену двома променями, що виходять із спільної точки. Кут, вершина якого лежить у центрі кола, називають центральним кутом. За одиницю вимірювання кутів беруть центральний кут, який спирається на 1/360 частину кола (кут в 1 гра­дус), або центральний кут, який спирається на дугу дов­жиною в 1 радіус (кут в 1 радіан). Кут а називають гострим, якщо 0° < α < 90°, прямим, якщо α = 90°, тупим, якщо 90° < α < 180°, розгорнутим, якщо α = 180°, повним, якщо α = 360°, нульовим, якщо α = 0. У багатьох випад­ках кут означають як шлях, описаний при обертанні про­меня відносно його початкового положення, що дає змогу розглядати кути якої завгодно величини. Поняття кута узагальнюється. Розглядають кути, утворені дугами кри­вих ліній, двогранні кути, тілесні кути тощо.

Л

ЛІНІЙНИЙ КУТ двогранного кута, утвореного двома площинами, – це кут між перпендикулярами до лінії їх перетину, проведеними в цих площинах через спільну точку. За величину двогранного кута беруть величину його лінійного кута.

ЛІТР [від грецького (litra) – дрібна монета] – одиниця об'єму (місткості), в метричній системі мір; дорівнює 1 дм³.

 ЛОГАРИФМ [від грецьких (logos) – слово, вчен­ня, розум, відношення і (arithmos) – число, лічба, номер]. Логарифмом даного числа N за основою а нази­вають показник степеня т, до якого треба піднести а, щоб дістати N. Це записують так: m=log_a N, що озна­чає а^т = N, звідки  а^logaN = N. Наприклад, log₂8=3, бо 2³=8. За основу а логарифма доцільно брати тільки до­датні числа, крім 1. Це забезпечує існування дійсних логарифмів для будь-яких додатних чисел. 

ЛОГІКА МАТЕМАТИЧНА [від математика і грець­кого (logike techne) – наука про мислення, мистецтво мислення] – наука, що вивчає математичні до­ведення; у початковий період розвитку її розглядали як алгебру логіки (символічну логіку), тобто як застосуван­ня математичного, в основному алгебраїчного, методу до логіки (так званої формальної логіки) – науки про за­кони і форми мислення. Це спеціальна галузь загальної логіки, що розвивається відповідно до потреб математики.

Алгебра логіки й тепер є частиною математичної ло­гіки, яка вивчає висловлювання і називається числен­ням висловлювань. Висловлювання – це будь-яке твер­дження, відносно якого є рація говорити про те, що воно істинне або що воно хибне. Алгебра логіки встановлює правила утворення з вихідних висловлювань нових, а також правила визначення їх істинності або хибності.

Засновником формальної логіки був Арістотель (IV cт. до н.е.). У другій половині XVII ст. Г.Лейбніц почав застосовувати методи математики до логіки. Проте само­стійною галуззю науки математична логіка стає з сере­дини XIX ст. завдяки працям Дж.Буля (1847, 1854), де Моргана (1847), П. С. Порецького (1884), Е. Шредера (1890-1905). Г. Фреге (1879, 1884) і Дж. Пеано (1894) вийшли за рамки алгебри логіки, застосувавши її до пи­тань обгрунтування арифметики і теорії множин. У зв'яз­ку з застосуваннями до обгрунтування математики пи­тання математичних доведень стають основними в мате­матичній логіці. Цим вона особливо зобов'язана Б. Рас-селу, а також Д. Гільберту; останній зайнявся нею після того, як дав аксіоматичне обгрунтування геомет­рії (1899). Велике значення для розвитку математичної логіки мають праці радянських математиків, особливо А. М. Колмогорова, П. С. Новикова, А. А. Маркова. З нею тісно пов'язані теорія алгоритмів, кібернетика. 

П

ПАРАБОЛА [грецьке  (parabole), від (parabollein) – прикладаю, порівнюю] – незамкненаалгебраїчна лінія другого порядку, один з конічних перерізів. Параболу означають як геометричне місце точок площини, однаково віддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директри­си). Якщо в прямокутній системі .координат   узяти    за  фокус   точкуF(p/2;0), а за директрису – пряму х = - p/2 (р – довільне   число),    то рівняння параболи матиме вигляд у² = 2рх (канонічне рівняння пара­боли); число р називається пара­метромпараболи і визначає сту­пінь розхилу її віток. Ця парабола симетрична від­носно осі абсцис і проходить через   початок   координат (вершина параболи). Якщо за вісь Y узяти вісь симетрії параболи, а початок координат вибрати у вершині, то рівняння параболи буде х²= 2ру. Парабола є також гра­фіком квадратного тричлена у = ах² + bх+ с. 

ПАРАЛЕЛЕПІПЕД [від грецьких  (parallelos) – паралельний і (epipedos) – рівне, плоске] –шестигранник, обмежений шістьма попарно паралельними площинами. Він має 8 вершин і 12 ребер. Грані парале­лепіпеда – попарно рівні паралелограми. Паралелепіпед називають прямим, якщо його бічні грані є прямокутни­ками, і прямокутним, якщо всі його грані прямокутні, В окремому випадку, коли всі грані паралелепіпеда квад­рати, матимемо куб.Діагоналі паралелепіпеда перетина­ються в одній точці, яка ділить їх пополам. Його об'єм дорівнює добутку площі основи на висоту. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

ПАРАЛЕЛОГРАМ [від грецьких (parallelos) – той, що йде поруч (паралельний), і (gramma) – риска, лінія] – чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні. Сторони паралелограма попарно рівні; рівні також протилежні кути. Паралелограм, в якого один кут (а значить, і кожний його кут) прямий, є прямокутником. Паралелограм, в якого всі сторони рівні, назива­ють ромбом. Ромб, кути якого прямі, є квадратом. Діагоналі паралелограма, перетинаючись, діляться попо­лам, його площа дорівнює добутку основи на висоту.

 ПАРАЛЕЛЬНИЙ [від грецького (parallelos) – той, що йде поруч]. Цей термін характеризує одночасні подібні процеси (паралельна робота двигунів, паралельні реакції) або   явища, які  мають  аналогію з паралельними прямими (паралельне переслідування, паралельні струми, паралельне сполучення провідників тощо). Це поняття відіграє важливу роль у математиці. Узагальненням його є поняття колінеарний.

 ПАРАМЕТР [від грецького (parametreo) – вимірюю що-небудь, порівнюючи з чим-небудь іншим] – стала величина, яка в даних умовах не змінює свого зна­чення. Наприклад, у рівнянні кола (х-а)²+ (у-b)² = R² величини а, b і R є параметрами кола; вони визначають положення кола на площині і його радіус і для даного кола мають стале значення.

 ПЕНТАГРАМА [грецьке (pentegrammon), від icsvts (pente) – п'ять і (gramme) – лінія, риска] – правильний п'ятикутник, на сторонах якого побудовано однакові рівнобедренітрикутники;п'ятикутна зірка. Якщо бічні сторони трикутників є продовженнями сторін п'ятикутника, то пентаграма є правильним зірчастим п'ятикутником. Пентаграма була відома ще в кам'яному віці і вважалася «магічною фігурою».

 ПЕРІОД [від грецького (periodos) – обхід, кру­говий обхід; складається з тарі (peri) – біля, навколо і (hodos) – дорога, шлях]. У математиці періодом на­зивають: а) групу цифр, що повторюється в періодичному десятковому дробу; б) число р > 0, на яке можна змінити будь-яке значення незалежної змінної, не змінюючи при цьому значення функції: f (х+ р)=f(х). Наприклад, число 2π є періодом функцій sin x, cos x та ін. У колив­ному або обертальному русі періодом (коливання, обертан­ня) називають проміжок часу, за який тіло робить одне повне коливання або один оберт.

 ПЕРИМЕТР [від грецьких  (peri) – навколо і  (metreo) – міряю, вимірюю] – буквально обвід, довжина замкненої кривої; найчастіше сума довжин усіх сторін плоского многокутника, ламаної лінії.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯР [від латинського perpendicularis — прямовисний] – пряма лінія, яка утворює прямий кут з даною прямою або площиною, чи її відрізок, одним з кінців якого є точка перетину (основа перпендикуляра) з даною прямою або площиною. Такі прямі або пряму і площину називають взаємно перпендикулярними. Дві пло­щини називають взаємно перпендикулярними, якщо ліній­ний кут утвореного ними двогранного кута – прямий. 

ПІ, π – буква грецького  алфавіту. Нею  починається слово (periphereia) – край  або  обвід круглого тіла, і тому букву π  взяли для позначення відношення довжини кола до його діаметра.  Символ став загально­визнаним   завдяки   Л.Ейлеру. π = 3,1415926... –трансцендентне чис­ло. Воно має  велике значення для виробничої практики, і тому протягом тисячоліть  математики багато попрацю­вали над його визначенням.

 ПІРАМІДА [від грецького (pyramis), мабуть, від єгипетського   peremus – діагональ   основи    піраміди) – многогранник, основою якого є многокутник (основа піра­міди), а інші грані – трикутники, що мають спільну вер­шину (вершина піраміди). Піраміду можна розглядати як тіло, обмежене конічною поверхнею, напрямною якої є мно­гокутник, тобто многогранним конусом, і площиною,  яка перетинає всі її твірні. Відстань Н від вершини до основи піраміди називають її висотою. Піра­міду називають правильною, якщо її основа –правильний многокутник, а  бічні   грані – рівнобедрені   (а значить, і рівні)   трикутники.  Висоти   цих  трикутників   називають апофемами піраміди. Трикутна піраміда називаєтьсятет­раедром.

 ПЛАНІМЕТРІЯ – геометрія на пло­щині; розділ шкільного курсу геометрії, в якому вивчаються властивості плоских фігур. Його змістом є в основному матеріал І-VI книг «Начал» Евкліда, значно спрощений і скорочений.

 ПЛОЩА – одне з основних понять геометрії, що сто­сується частин площини "або довільної поверхні (фігур). До цього поняття ми приходимо через .необхідність дати кожній фігурі числову характеристику, яка задоволь­няла б такі умови:

1)    кожній плоскій фігурі якогось класу (в тому числі кожному многокутнику) відповідає певне додатне число, яке називають її площею;

2)    площа фігури не залежить від положення фігури, тобто конгруентні фігури мають рівні площі;

3)    якщо фігура F складена з двох фігур F₁ і F₂, що не перекриваються, то площа всієї фігури F дорівнює сумі площ її частин F₁ і F₂;

4)    квадрат, довжина сторони якого дорівнює 1, має площу, яка дорівнює 1.

 ПОДІБНІСТЬ.   Два трикутники називають подібними, якщо їх кути попарно рівні, а відповідні сторони, тобто сторони, які лежать проти рівних кутів, пропорціональні. Два многокутники або взагалі два тіла називають подіб­ними,   якщо між їх  точками можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій будь-які трикутники з вершинами,  що лежать у відповідних точках, подібні. Однойменні правильні многокутники подібні між собою; подібні також усі кола, кулі. У подібних фігурах кути між кожними  двома  лініями однієї фігури дорівнюють кутам між відповідними лініями другої фігури, а відно­шення віддалі  між двома точками однієї фігури до від­далі між відповідними точками другої дорівнює сталому числу, що називається коефіцієнтом подібності. Рівність фігур є окремим випадком  подібності,   коли  коефіцієнт подібності   дорівнює  одиниці.   Подібність двох геометричних  фігур означає,  що  вони, незалежно від розмірів і положення в   просторі, мають   однакову   форму.   Якщо   ж   подібні фігури   розміщені   так,   що   всі  промені,   проведені   з якоїсь   точки    через   точки    однієї    фігури,    проходи­тимуть через відповідні  точки  другої, то це буде гомо­тетія.

Геометричне перетворення площини або простору, при якому кожний трикутник переходить у подібний йому трикутник, називають подібним перетворенням. Воно широко застосовується при кресленні і побудові моделей. На практиці для цього використовуютьпантограф і пропорціональний циркуль.

Учення про подібні фігури виникло ще в Стародавній Греції. Зокрема, у «Началах» Евклідавиклад питання подібності базується на вченні про пропорціональність відрізків.

 ПОДІЛЬНІСТЬ. Ціле число а ділиться на деяке від­мінне від нуля ціле число b тоді, коли існує таке ціле число с, що а = bc. При цьому число с визначене одно­значно. Число аназивають кратним чисел b і с, а числа b і с – дільниками числа а.

З подільністю чисел пов'язані важливі задачі теорії чисел: знаходження спільних і найбільших спільних дільників двох або кількох чисел і знаходження кратних і найменших спільних кратних двох або кількох чисел. З цими задачами ознайомлюють учнів у курсі арифметики середньої школи.

Основи вчення про подільність цілих чисел створили старогрецькі математики. Евклідстворив алгоритм для знаходження найбільшого спільного дільника чисел. Теорія подільності почала розвиватися далі в XVII ст., зокрема в працях П.Ферма, який установив теорему (теорему Ферма малу), що відіграла значну роль у роз­витку теорії чисел. У дальшому значний вклад у теорію подільності і взагалі в теорію чисел зробили Л. Ейлер, К.Гаусе, П. Чебишов та інші видатні вчені.

Поняття подільності поширюється на многочлени, цілі алгебраїчні числа і т. д.

 ПОСЛІДОВНІСТЬ – нескінченна пронумерована сукуп­ність чисел, які називаютьелементами послідовності. Записують послідовність так: x₁, х₂,, х_п, …, х_п називають загальним членом послідов­ності. Послідовність можна розглядати як функцію, озна­чену на множині натуральних чисел. Задати послідов­ність— це означає назвати правило, за яким для кож­ного натурального п можна знайти відповідний елемент послідовності х_п. Важливим є поняття границі послідов­ності. Послідовність, яка має границю, називають збіж­ною.

 ПОХІДНА – поряд з диференціалом основне поняття диференціального числення.Похідною функції y = f(x) в точці х називають границю, до якої прямує відно­шення ^Δy/_Δxприросту функції Δy= f(x+Δx) - f(x) до при­росту незалежної змінної (аргумента)Δx, коли Δxпрямує до нуля.

Поняття похідної ввів Ж.Лагранж (1798), до цього користувалися поняттям диференціального коефіцієнта ^dy/_dx  як відношення диференціалів.

 ПРИЗМА [грецьке (prisma), від (ргіо) – пиляю, – буквально відпиляний кусок] – геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею, напрямною якої є многокутник (призматична поверхня), і двома паралельними площинами, що її перетинають. Це – многогранник, дві грані якого (основи) є рівними многокутниками з відповідно паралельними сторонами, а інші грані (бічні) – паралелограми. Призму називають прямою, якщо площини всіх її бічних граней перпендикулярні до основ. Пряму призму називають правильною, якщо її основи — правильні многокутники. Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту (тобто на відстань між площи­нами основ).

 ПРОГРАМА [грецьке (programma) – об'ява, наказ; (pro) – вперед і (gramma) – риска, лінія] – план накресленої діяльності, роботи. Щоб розв'язати якусь задачу на лічильнійматематичній машині, складають програму, тобто всерозв'язання розбивають на ряд послідовних  простих операцій – команд.  Отже, програма  є докладним  записомалгоритму  розв'язання якоїсь задачі у вигляді, пристосованому для практичного розв'язання на машині. Складання програми називають програмуванням

 ПРОГРЕСІЯ [від латинського progressio – рух вперед, зростання] – послідовність (ряд) чисел (членів прогресії) а₁ , а₂,  , а_п, ... , складена за певним законом, напри­клад:прогресія арифметична, прогресія гармонічна, про­гресія геометрична. Вивчення прогресій (арифметичної і геометричної) займає значне місце в курсі алгебри се­редньої школи.

 ПРОЕКЦІЯ [від латинського projectio – кидання впе­ред] – одне з основних понять геометрії. Нехай дано якусь площину Р (площину проекцій) і точку S поза площиною (центр проекцій). Проекцією точки А на площину Р на­зивають точку А' перетину прямої SAз цією площиною. Точку А' називають образом, а точку А — прообразом. Пряму SAназивають проектуючою прямою. Проекцією фігури F на площину Р називають геометричне місце F' проекцій усіх точок цієїфігури. Розглянуту проекцію нази­вають центральною, або конічною. Якщо центр проекцій – нескінченно віддалена точка, інакше кажучи, якщо про­ектуючі прямі паралельні між собою, проекцію називають паралельною,   або  циліндричною.    Найбільш   уживаною циліндричною проекцією є ортогональна, або прямокутна проекція, в якій проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій, на відміну від косокутної проекції, в якій вони не перпендикулярні. Аналогічно означають проек­цію точки на пряму.

 ПРОЦЕНТ [від латинського pro centum – на сто] – сота частина числа. Позначається %.Проценти застосовували ще в стародавні часи. Поняття процента використовується в найрізнома­нітніших питаннях, пов'язаних з обліком, плануванням та ін. При банківських розрахунках користуються склад­ними процентами.

Р

РАДИКАЛ [від латинського radicalis – корінний] – знак операції добування кореня, який найвірогід­ніше походить від латинського слова radix – корінь. Звідси: радикальний вираз—це вираз, до складу якого входять радикали; розв'язати рівнян­ня в радикалах – означає подати корені цього рівняння за допомогою радикальних виразів з коефіцієнтів  рівняння. 

РАДІАН [від латинського radius – промінь] – одиниця вимірювання кутів. Кут в один радіан– це центральний кут, що спирається на дугу кола, довжина якої дорівнює його радіусу. Радіан несумірний з градусом і наближено дорівнює 57°17'44". 1°   0,1745 радіанів. Словом «радіан» у друкованій праці вперше користувався Дж. Томсон (1873). 

РАДІУС [латинське radius – спиця в колесі, промінь] – відрізок прямої, що сполучає центр кола (сфери) з будь-якою його (її) точкою, а також довжина цього відрізка.

 РАЦІОНАЛЬНИЙ [від латинського ratio – розум, до­ведення, погляд, відношення] –буквально розумний, до­цільний, обгрунтований, пов'язаний з відношенням. Це слово часто зустрічається в математиці в різних термінах, наприклад: раціональні числа, раціональна точка – точка простору (площини, прямої), координати якої є раціональ­ними числами, раціональний вираз – алгебраїчний вираз, що не містить радикалів, і т. д. 

РІВНІСТЬ – форма запису твердження, що об'єкти а і b в певному розумінні рівні, за допомогою знака = (див. Знаки математичні) або саме це твердження. Пи­шуть а = b.Основні властивості рівності такі: 1) а = а (рефлективність); 2) якщо а = b, то b = а(симетричність); 3) якщо а = b і b = с, то а = с (транзитивність). У формі рівності записують рівняння. На відміну від рівнянь рівність двох буквених виразів, яка справджується при будь-яких значеннях букв з даної числової множини, на­зивають тотожністю (тоді замість знака = іноді пишуть знак  ). Наприклад, 2х - 3 = 7 – рівняння, а (а + b)² = a² + 2ab + b² – тотожність.   

РІВНЯННЯ Поняття рівняння – одне з центральних понять математики як науки. Як і багато інших понять математики, воно уточнювалось і розширювалось у зв'язку з розвитком самої науки. Розглянемо дві точки зору на рівняння, які щільно між собою переплі­таються: 1) рівняння як засіб записування умови за­дачі; воно містить у своєму складі невідомі величини (одну або кілька), значення яких треба знайти, і 2) рів­няння як засіб подання та вивчення залежності між двома або кількома змінними величинами. 

РОМБ [грецьке (rhombos) – 1) будь-яке кругле або обертове тіло; 2) перекошений квадрат, ромб] – плос­кий чотирикутник, всі сторони якого рівні. Очевидно, що сторони ромба попарно паралельні, тому його можна роз­глядати як паралелограм з рівними сторонами. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути по­полам. Ромб, у якого всі кути рівні, є квадрат. 

РОМБОЕДР [від ромб і грецького (hedra) – основа, поверхня, сторона] – паралелепіпед, усі грані якого є рівними між собою ромбами.

САНТИМЕТР [від латинського centum – сто і метр] – міра довжини в метричній системі мір;дорівнює сотій частині метра. 

СЕКАНС [від латинського – січу, розтинаю, secans  той, що січе, розтинає] – назва однієї зтригонометричних функцій. Секансом гострого кута a (sec а) пря­мокутного трикутника називають відношення гіпотенузи до катета, що прилягає до цього кута. 

СЕКТОР [латинське sector – той, що відсікає, відо­кремлює] – буквально вирізка. Плоским сектором нази­вають частину площини, обмежену дугою замкнутого кон­тура і сторонами кута, вершина якого лежить усередині контура; зокрема, круговий сектор – частина круга, обме­жена двома радіусами і дугою кола.

Просторовим сектором даного тіла називають його частину, обмежену поверхнею цього тіла і конічною по­верхнею, вершина якої лежить усередині тіла. Якщо да­ним тілом є куля, а вершина конуса лежить в її центрі, то сектор називають кульовим. Він утворюється обертан­ням плоского кругового сектора навколо одного з радіу­сів, що його обмежують (кульовий сектор 1-го роду). Кульовим сектором називають також тіло, утворене обертанням плоского кругового сектора навколо осі, яка лежить у площині цього сектора і має з ним тільки одну спільну точку – центр кола (кульовий сектор 2-го  роду). 

СИМВОЛІКА – система або сукупність символів, які застосовуються в певній науці або якійсь іншій ділянці людської діяльності для позначення різних об'єктів, понять або співвідношень між ними, наприклад матема­тична символіка.

СИМЕТРІЯ [грецьке (symmetria) – правильне відношення, співрозмірність]. Під симетрією в широкому значенні цього слова розуміють будь-яку правильність у будові плоскої фігури, просторового тіла, виразу, формули тощо. У геометрії симетрією називають певний типгеометричних перетворень, при якому одна точка (прообраз) за певним законом переходить у другу точку (образ). Звичайно розглядають окремо симетрію на пло­щині і симетрію в просторі, хоч вони мають багато спільного. 

СИНУС – назва однієї з основних тригонометричних функцій. Синусом гострого кута a. (sinа) в прямокутному трикутнику називають відношення катета, що лежить проти цього кута, до гіпотенузи. Синусом довільного кута а, утвореного радіусом-вектором ОМ довільної точки М (у прямокутній системі координат) з додатним напрямом осі X, називають відношення ординати цієї точки до довжини радіуса-вектора. Відповідно до иього синус кута додатний, якщо радіус-вектор розташований у І і II квадрантах, і від'ємний у III і IV. Синусом числа х називають синус кута в х радіанів. Функція у = sin x означена на всій числовій осі, періодична з най­меншим періодом 2π, непарна. Назва «синус» і історія введення цього поняття поки що остаточно не з'ясовані. Відомо, що в «Альмагесті» Птолемея (II ст. н. є.) вмі­щено таблицю хорд дуг через кожні півградуса до дуги 180°, рівнозначну таблиці синусів від 0 до 90° через кожну чверть градуса. Такі таблиці склав ще в II ст. до н. є. Гіппарх, проте вони були втрачені. Індійська книга «Сур'я Сиддханта» (300-400 р. н. є.) вже містить таблиці синусів, а не таблиці хорд. Ці таблиці були складені в зв'язку з потребами астрономії. Лінія синуса (півхорда) називалась по санскритському «ardhagiva» (по­ловина тятиви лука), оскільки сегмент і справді нагадує лук. Араби, перекладаючи математичні твори індійців, замінили слово «джіва» на «джіба» – хорда. Оскільки в арабській мові голосні часто не пишуть, то «джб» можна прочитати як «джаїб»– западина, пазуха, затока. Так і зробили європейські вчені XII ст., перекладаючи математичні твори з арабської мови на латинську мову, в якій западина, затока передається словом sinus. Є й інші гіпотези про походження цієї назви. Гадають, наприклад, що вона є скороченням латинського semirecta inscripta — півхорда. Символомsin першим почав кори­стуватись А.Жірар (перша половина XVII ст,). В Європі перші таблиці синусів склав у XV ст. Г. Пурбах. Графік функції y = sinx у прямокутній декартовій системі координат називається синусоїдою. Це нескін­ченна в обох напрямах лінія хвилястої форми. Графік синуса серед графіків інших тригонометричних функцій був побудований першим (Ж.Роберваль,  1634). 

СИСТЕМА КООРДИНАТ, або координати, – спосіб, який  дає  змогу  визначити  положення   точки  на  лінії, поверхні або в просторі за допомогою чисел (координатточки). Примітивними координатами люди користувалися з давніх часів. По суті вони були відомі Архімеду і Аполлонію. Першими координатами, які почали застосовувати систематично, були координати географічні й астроно­мічні. У XIV ст. М.Орем користувався координатами на площині для побудови графіків, називаючи сучасні абсцису і ординатудовготою і широтою. Координати почали постійно застосовувати до питань геометрії на площині в XVII ст. Заслуга в установленні значення методу координат, який дає змогу перекладати задачі геометрії на мову математичного аналізу і навпаки, на­лежить Р.Декарту. Тепер координати широко застосо­вують як у математиці, так і в ряді інших наук (фізика, механіка, астрономія та ін.).

Найпростішою є система координат на прямій. Найбільш поширеною системою координат на площині є декартова система координат. Декартові   координати  в  про­сторі визначаються трьома некомпланарними осями  (найчастіше   взаємно  перпендикулярними),   які   мають   спільну   точку  – початок координат. Кожна пара осей визначає площину   координат.   Три   площини   координат  ділять  простір   на  вісім частин – октантів.   Через  кожну  точку простору   про­ходять   три    координатних  поверхні— площини,   паралельні площинам координат. Прикладами криволінійних координат у просторі є сферичні координати, циліндричні координати.

Метод координат — основа геометрії аналітичної. Він широко використовується в різних розділах математики.

Література. О. С. С м о г о р ж є в с ь к и й, Метод координат, К., «Радянська школа», 1959. 

СКАЛЯР, СКАЛЯРНА ВЕЛИЧИНА [від латинського scala – східці, scalaeris – східчастий] – так звичайно на­зивають величини, які повністю визначаються своїм числовим значенням(довжина, площа, об'єм, маса, густина, температура, час, робота тощо). Їх значення завжди можна зіставити з певною шкалою (скалою). 

ТАНГЕНС [латинське tangens – той, що дотикається, tango – дотикаюсь] – назва однієї з основнихтригонометричних функцій. Тангенсом гострого кута a (tg а) прямокутного трикутника є відношення катета, що лежить проти цього кута, до другого катета. При цьому tg a = ^sin a/_cos a . Ця функція непарна, періодична з найменшим періодом п. Таблиці тангенсів зустрічаються в астрономічному трактаті ал-Хорезмі (IX ст.)

Графік функції у = tg x, називають тангенсоїдою. Він складається з безлічі окремих віток, які перетинають вісь X у точках х =пn і мають асимптоти, перпендикулярні до осі X у точках х=(п+½)π

При х=(п+½)π  функція tg х неозначена. Графік тангенса для першої чверті кола зобразили Дж. Грегорі (1668) і І. Барроу (1674). Для двох обертів його побудував Р. Котс.

ТЕОРЕМА [грецьке (theorema), (theoreo) –. придивляюсь, спостерігаю] –  твердження, правдивість якого перевіряють за допомогою логічних міркувань, що спираються на аксіоми або на раніше доведені твердження, або на ті і другі. Міркування, що виявляють справедливість теореми, називають доведенням. У формулюванні теореми розрізняють дві частини: умову теореми (те, що дано) і висновок (те, що треба довести). Теорему називають оберненою до даної, якщо її умова є висновком, а висновок –умовою даної теореми. Наприклад, твердження: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник прямокутний, є теоремою,, оберненою до теореми Піфагора. Проте не кожна обернена теорема справедлива. Наприклад, не буде справедливою теорема, обернена до такої: якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5. Якщо справедлива якась теорема і їй обернена, то ці теореми, називають взаємно оберненими. Справедливість умови будь-якої з них не тільки достатня, а й необхідна для справедливості   висновку. Теорему, умова і висновок якої є запереченнями умови і висновку даної, називають протилежною даній. Протилежна теорема рівносильна оберненій, а теорема, обернена до протилежної, рівносильна даній (прямій).

Теорему, в якій установлюється необхідна і достатня умова, при виконанні якої справедливий висновок теореми, називають іноді критерієм.

ТЕОРІЯ [від грецького (theoria) – спостереження, дослідження] – розділ якоїсь науки або наука, всі висновки якої об'єднані певними (спільними) ідеями, положеннями або випливають з певної системи аксіом. Наприклад, у математиці теорія ймовірностей, теорія чисел, теорія апроксимації тощо.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ – розділ математики, що вивчає закономірності, яким підлягають випадкові події масового характеру. Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття випадкової події і поняття ймовірності. Так, коли підкидають монету над підлогою, за однако­вих умов однаково можливі дві події: або монета впаде догори гербом, або протилежною стороною. Кажуть, що ймовірність кожної з цих подій дорівнює 0,5. Якщо кидати монету багато разів, то частота появи герба буде коливатись навколо 0,5, причому межі коливань звужу­ватимуться із зростанням числа випробувань. При обчисленнях імовірностей у найпростіших випадках широко використовуютькомбінаторику.

Теорія ймовірностей зародилася в XVI-XVII ст. із спроб дати теорію азартних ігор. Перші розрахунки ймовірностей проводили Н.Тарталья і Дж.Кардано, пізніше цими питаннями займались Г.Галілей, П.Ферма, Б.Паскаль, X. Гюйгенс, Р.Декорт. Важливу теорему (закон великих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, знайшов Я.Бернуллі. Його результати розвинули А.Муавр і П.Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії, ймовірностей мали відкриття П.Л.Чебишова та його учнів.  З теорією ймовірностей тісно  пов'язана математична статистика – розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків.

Теорія ймовірностей знаходить дедалі ширші застосування в багатьох питаннях математики, фізики, техніки економіки, біології, військової справи та ін.

ТЕТРАЕДР [від грецьких (tettares) –  чотири, у складних словах (tetra-) і  (hedra) – основа, поверхня, сторона] – чотиригранник, усі грані якого трикутники, трикутна піраміда. Має 6 ребер, 4 вершини, у кожній вершині сходяться 3 ребра.

ТІЛА АРХІМЕДА. Так називають: кулю радіуса R, циліндр висотою 2R і радіусом основи R і конус, радіус основи якого R, а висота 2R. їх об'єми відносяться як 2:3:1; отже, в цьому випадку об'єм циліндра дорівнює сумі об'ємів кулі і конуса. Це встановив Архімед.

ТРАЄКТОРІЯ [від латинського trajectorius – той, що стосується переміщення] – лінія руху матеріальної точки (тіла). Наприклад, траєкторія польоту тіла, кинутого в пустоті під кутом до горизонту, є парабола, а в повітрі –  балістична крива [від грецького (ballo) –  кидаю], вивченням якої займається спеціальна галузь науки – балістика. Траєкторією точки кола, яке котиться по прямій без ковзання, є циклоїда. Траєкторії руху планет сонячної системи є еліпси; деякі комети рухаються по параболічних і гіперболічних траєкторіях. Багато ліній у математиці зручно розглядати як траєкторії руху точки на площині або в просторі.

ТРАНСПОРТИР [від латинського transportare – пере­носити] – прилад для вимірювання і відкладання кутів. Основною частиною транспортира є півколо, поділене на 180 частин – градусів. Якщо поділки дано в радіанах, то маємо радіанний транспортир.

Застосовують також процентний транспортир, кожна поділка якого становить соту частину (процент) усього кола; за його допомогою зручно будувати секторні діа­грами.

ТРАПЕЦІЯ [від грецького (trapedza) – стіл або (trapedzion) – столик] – чотирикутник, дві сторони якого паралельні (основи трапеції), а дві інші (бічні) не паралельні. Відрізок, що сполучає середини непаралельних сторін трапеції; називається середньою лінією трапеції і дорівнює півсумі основ. Площа трапеції дорів­нює добутку середньої лінії на висоту – відстань між основами. Трапеція з рівними бічними сторонами нази­вається рівнобедреною. Близьку до трапеції форму мають поперечні перерізи різних деталей, споруд (каналів, гре­бель) тощо.

ТРИГОНОМЕТРІЯ [від грецьких (trigonon) – трикутник або (metreo) – міряю, вимірюю] – буквально вимірювання трикутників. Так називається математична дисципліна, яка вивчається в середній школі. Її зміст охоплює вчення про тригонометричні функції і їх застосування до роз взування трикутників. орія тригонометрії починається задовго до початку нашої ери. її розвиток тісно пов'язаний з потребами практики, особливо астрономії. Вже стародавні єгиптяни, як це видно з папіруса Ахмеса (XX- XVII ст. до н.є.), користувались відношенням між половиною діагоналі основи правильної чотирикутної піраміди і її бічним ребром, тобто косинусом кута, утвореного бічним ребром з площиною основи. Вавілонські вчені ще у XVIII ст. до н. є. передбачали затемнення Сонця і Місяця, для чого, безперечно, потрібні були деякі відомості з тригонометрії. Вавілонянам належить поділ кола на 360 частин, а їх шістдесяткова система числення довго панувала в тригонометрії. Потреби астрономії сприяли тому, що спочатку розвивалась сферична тригонометрія, а вже потім тригонометрія на площині. Окремі теореми триго­нометрії на площині є в «Началах» Евкліда (кн. II). Але основоположником тригонометрії вважається Гіппарх (II ст. до н.є.). Він склав перші таблиці хорд, що були за сучасною термінологією таблицями подвійних синусів половини центрального кута. Визначна заслуга в справі дальшого розвитку тригонометрії належить К. Птолемею з Александрії (II ст. н. є.), який у своєму творі «Велика побудова» («Альмагест») дав таблицю хорд для кутів від 0^одо 180°. В «Альма-гесті» вперше зустрічаються знаки для позначення мінут ' і секунд ". Знак ° з'явився пізніше. Греки знали теореми, що давали їм можливість знаходити результати, які тепер дістають за допомогою формул синуса суми, різниці двох кутів і синуса половини кута.

Після занепаду грецької культури значних результатів у розвитку тригонометрії досягли індійці.  Таблиці, складені ін­дійцями, були досить точними.

Наступний  етап у розвитку  тригонометрії  зв'язаний з   утворенням  Арабського  халіфату,   до  якого  ввійшли держави Середньої Азії, Близького Сходу, Північної Африки і Піренеїв. Видатна роль у розвитку  математичної науки в Арабському  халіфаті з IX по XV ст. належала народам Середньої Азії і Закавказзя. Розвиток тригоно­метрії починається з перекладів на арабську мову праць грецьких і  індійських   учених. Один  з  перших  відомих творів з тригонометрії належить ал-Хорезмі (IX ст.), якому були відомі поняття тангенса і котангенса.   Його сучас­ник ал-Марвазі (ал-Хабаш) склав таблиці тангенса і котан­генса, а також використовував поняття косеканса і склав для нього таблицю через 1°. Ал-Баттані (IX-X ст.) си­стематично   використовує  тригонометричні лінії,  розгля­даючи синус  від 0 до 180°.

В Європі Брадвардін (перша половина XIV ст.) перший застосував котангенс (umbra recta – пряма тінь) і тангенс (umbra versa – обернена тінь). У XV ст. Г. Пурбах склав но­ві таблиці синусів і тангенсів.

Дальшому розвитку тригонометрії сприяло багато ви­датних учених: М.Копернік, Ф.Вієт, Дж.Непер, Г.Брігс і багато інших. Термін «тригонометрія» зустрічається вперше в заголовку праці Б.Пітіскуса (1595), яку можна вважати першим підручником з тригонометрії.

Величезний внесок у тригонометрію зробив Л.Ейлер. У «Вступі до аналізу» (1748) він, вивівши всі формули три­гонометрії з кількох основних, поклав початок аналітичній науці про тригонометричні функції. Ейлер встановив зв'я­зок тригонометричних функцій з показниковими (у ком­плексній області), дав загальну формулу зведення кутів до найменшого аргумента і т. д. Праці Ейлера стали науковою основою для створення передових для того часу підручни­ків з тригонометрії, від яких мало відрізняються сучасні.

ТРИКУТНИК – многокутник з трьома сторонами, тобто частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, яка складається з трьох відрізків пря­мої (іноді сама ця ламана); одна з основних фігур у гео­метрії. Трикутник з вершинами А, В і С позначають ΔABC. Трикутники класифікують за сторо­нами (рівносторонні, або правильні, рівнобедрені, різносторонні) або за величиною кутів (гострокутні, прямокутні, тупокутні). У трикутнику розглядають: висоти (відрізки перпендикулярів, проведених з вершин трикутника до відповідних сторін або до їх продовжень), медіани, бісек­триси, середні лінії, а також точку перетину висот (ортоцентр), медіан (барицентр),бісектрис (центр впи­саного кола) тощо. Площа трикутника дорівнює половині добутку однієї з його сторін на відповідну висоту. Трикутники і їх теорія мають важливе теоретичне і практичне значення. Завдяки жорсткості трикутників їх форму мають елементи майже кожної будівельної кон­струкції. Основні властивості трикутника і його елементів були відомі ще в стародавні часи і систематично викла­дені в «Началах» Евкліда.

ТРИКУТНИК ЄГИПЕТСЬКИЙ – прямокутний трикутник з сторонами 3, 4 і 5  (див. Піфагорові  числа).   Вважають, що єгипетські землеміри будували прямі кути за допомогою вірьовки з 12 вузлами на ній, однаково віддаленими один від одного. Мабуть, тому і самі землеміри називалися гарпедонаптами, що  в дослівному перекладі означає – натягувачі вірьовки. В окремих випадках таким прийомом побудови прямого кута користуються ще й тепер.

ТРИКУТНИК ПАСКАЛЯ,   або  арифметичний  трикутник, – числова таблиця з біноміальних коефіцієнтів, яка має форму рівнобедреного (або прямокутного) трикутника. Кожний рядок фігури починається і закінчується одиницею, а інші його числа утворюються додаванням двох сусідніх чисел  попереднього рядка.   Рядок з номеромп+1 містить послідовні біноміальні коефіцієнти для показника п. Є підстави вважати, що цей трикутник  був відомий індійцям ще в  II ст. до н.є., а китайцям – у VIII ст. н.є. Він зустрічається також у Омара Хайяма (XI-XIIст.). Його знову відкрив Б. Паскаль (1654) і подав у книзі «Трактат про арифметичний трикутник» (опублікована посмертно в 1665 p.), звідки й пішла назва «Трикутник Паскаля». 

                 1

               1  1

             1  2  1

           1  3  3   1

        1   4   6   4  1

      1  5  10  10  5  1

   1  6  15  20  15  6  1

УМОВИ НЕОБХІДНІ І ДОСТАТНІ – критерій істин­ності або хибності якогось твердження. Нехай є два твердження U і V і справедлива теорема: якщо є U, то є і V. Істинність твердження U є достатньою умовою для істинності V, а істинність V є необхідним наслідком (необхідною умовою) істинності U. Наприклад, твердження «ціле число закінчується нулем» є достатньою умовою для істинності твердження «це число ділиться на 5», а останнє є необхідним наслідком першого.

Необхідну і достатню умову записують у вигляді теореми: «Для того щоб було U, необхідно і достатньо, щоб було V», або «U буде тоді і тільки тоді, коли буде V».

Наприклад: ціле число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується нулем або п'ятіркою; для того щоб даний трикутник був прямокутним, необхідно і достатньо, щоб квадрат його найбільшої сторони дорівнював сумі квадратів двох інших сторін.

ФАКТОРІАЛ [англійське factorial, від factor – множник (від латинського factor –  той, що робить, виробляє)] –  добуток послідовних чисел натурального ряду від 1 до п.

Позначається п! Поняття факторіала широко використовують у теорії сполук, при розкладанні функцій в ряди, в теорії наближених обчислень тощо. Його поширюють на нецілі значення п (раціональні, ірраціональні, комплексні).

ФІБОНАЧЧІ ЧИСЛА – елементи послідовності, яка починається з двох одиниць, а кожний її наступний член дорівнює сумі двох попередніх:

1,  1, 2, 3, 5, 8.  13, 21, 34, 55,  ... .

Цю послідовність називають рядом Фібоначчі (його мож­на починати також з 0 і 1). Уперше цей ряд зустрічається в книзі Леонардо Пізанського (Фібоначчі) «Liber abaci» («Книга про абак») (1202) у зв'язку з задачею про потомство однієї пари кролів. Числа Фібоначчі мають багато цікавих властивостей. Наприклад, вони тісно пов'язані з біноміальними коефіцієнтами, з золотим перерізом.

ФІГУРА [латинське figora – образ, вигляд]. У геометрії фігурою або геометричним образом взагалі називають будь-яку сукупність точок. Розрізняють плоскі фігури, утворені точками однієї площини – пряма, ламана, відрізок прямої, коло, круг, трикутник тощо, і просторові фігури –  куля, сфера, конічна поверхня і т. д.

ФОКУС [латинське focus –  вогнище]. Фокусом кривої другого порядку називають таку точку площини, в якій лежить ця крива, що відношення її відстані від довіль­ної точки даної кривої (еліпса, гіперболи, параболи) до відстані цієї точки кривої до деякої прямої –  дирек­триси – є величина стала. Криві другого порядку мають два фокуси (другий фокус параболи –  нескінченно відда­лена точка). Фокальними радіусами точки кривої нази­вають відрізки, що сполучають цю точку з фокусами. Вони утворюють з дотичною до кривої в даній точці рівні кути. Отже, промінь світла, що виходить з одного фокуса, відбившись від еліптичного дзеркала, пройде через другий фокус, у випадку параболічного дзеркала –  піде паралельно осі параболи, а продовження променя, відбитого від гіперболічного дзеркала, пройде через дру­гий фокус. Це обумовлює широке застосування поверхонь, утворених обертанням цих кривих (особливо параболи), в оп­тичних приладах. В оптиці фокус – це точка, в якій перетинаються всі промені, що падають на оптичну систему паралельно її головній оптичній осі.

ФОРМУЛА [латинське formula –  правило, спосіб] –  записане за допомогою знаків математичних певне пра­вило, звичайно зведене до найпростішого вигляду, де зазначено, які операції і в якому порядку треба виконати над даними величинами, щоб дістати значення шуканої величини.

ФУНКЦІЯ [від латинського functio – діяльність, виконання]. Одне з основних понять математики, що харак­теризує залежність одних змінних величин від інших. Важливість поняття функції визначається тим, що воно відповідає особливостям природи, реального світу, де все, безперервно змінюючись, перебуває у взаємному зв'язку. Вивчення законів реального світу за допомогою математики зводиться по суті до вивчення різних функціональних залежностей – різних функцій.

Як і інші поняття математики, поняття функції формувалося протягом досить довгого часу. Вперше в явній формі його розглядав Р.Декарт одночасно з відкриттям геометрії аналітичної (1637). Він, як і інші математики XVIIст., кожну функцію уявляв у вигляді деякої лінії; ордината точки на даній лінії є функція її абсциси. Таке саме інтуїтивне геометричне тлумачення поняття функції було в Г.Лейбніца, якому належить і сам термін (1692). До другої половини XVIII ст. поняття функції пов'язувалось або з геометричним її зображенням, або з аналітичним. Хоч у такому вигляді воно й було не пов­ним і не точним, проте довгий час відігравало позитивну роль як для математики в цілому, так і для дослідження самого  поняття.

До сучасного означення функції однієї змінної близько підійшов М.І.Лобачевський. можна подати так. Нехай є дві числові множини X і Y. Якщо зазначено закон або правило, Задати функцію y = f(x) – це означає вказати мно­жину X і той закон, за яким для кожного елемента х € X можна знайти відповідне значення у.

В школі, використовують менш точне, але більш доступне означення: змінна величина у називається функцією змінної величини х, якщо кожному (допустимому) значенню х відповідає певне зна­чення у.

ХОРДА [від грецького (chorde)  струна] –  від­різок прямої, що сполучає дві точки якої-небудь кривої. Середини паралельних хорд конічного перерізу лежать на одній прямій – діаметрі цього перерізу; зокрема, середини паралельних хорд параболи лежать на прямій, паралельній її осі. Таке означення діаметра дає змогу розширити й узагальнити це поняття. Так, діаметр гіпер­боли (в цьому розумінні) може зовсім не мати спільних точок з гіперболою, а кожний діаметр параболи має з нею тільки одну спільну точку.

ЦЕНТНЕР [німецьке (Centner), від латинського centum –  сто] – одиниця ваги (маси) в метричній системі мір (позначається ц). 1 ц = 100 кг = 0,1 т.

В Англії 1 ц =45,3592 кг, у Німеччині, Швейцарії і Данії 1 ц = 50 кг.

ЦЕНТР [від грецького (kentron) –  вістря, гострий кінець палиці] – так спочатку називали ніжку цир куля, а потім і точку, яку ця ніжка відмічала. У геометрії центром кола (сфери) називають точку, однаково віддалену від усіх точок кола (сфери). Це поняття поширюють на інші фігури (еліпс, гіперболу, правильні многокутники і многогранники), називаючи центром фігури її центр си­метрії.

Термін «центр» використовують також у поняттях центр гомотетії, центр проекцій, центр ваги тощо.

ЦИЛІНДР [від грецького (kylindros) –  вал, каток] – тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами – основами циліндра. Циліндр називають прямим, якщо ці площини перпендикулярні до твірних циліндричної поверхні, і прямим круговим, якщо при цьому вони перетинають циліндричну поверхню по колах. Інакше, прямим круговим циліндром називають тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Прямий круговий циліндр визна­чається радіусом основи і висотою (відстанню між основами).