Софізми.

Софізми, парадокси

Процес пізнання людиною навколишнього світу можна порівняти з радісним торжеством, бо кожна розкрита таємниця зміцнює віру її в свої сили. Але на шляху переможної людської думки виникали величезні, здавалося б нездоланні, перешкоди – задачі, перед якими були безсилі найвитонченіші міркування. Вчені боляче переживали такі невдачі. Давньогрецький фі­лософ Діодор Кронос (пом. бл. 307 р. до н. е.), не розв'язавши однієї з найдавніших логічних загадок – парадоксу Евбуліда, помер від розпачу, а другий філософ Філет Косський, зазнавши такої самої невдачі, покінчив життя самогубством.

Давньогрецькі вчені натрапили на нерозв'язні задачі і в математиці. Вони докладали багато зусиль, щоб виявити механізми утворення таких загадок. Було встановлено, що наші міркування також підпорядковані певним законам (законам логіки), порушення яких знецінює результати, здобуті в таких міркуваннях. Нерозв'язність задач, з якими зустрілися Діодор Кронос та Філет Колосський, пояснюється, як правило, порушенням законів логіки. Тому вже тоді гостро постало питання про систему «профілактичних заходів»  до­держання певних правил міркувань з метою уникнення логічних пасток. Напевне, перша в історії спроба проведення «логічної профілактики» для початківців у математиці належить геніальному давньогрецькому ма­тематикові, автору славнозвісних «Начал» – Евкліду (IV ст. до н. е.).

Він створив дивовижний збірник «Псевдарій», де вмістив різні помилкові міркування, до яких часто вдаються ті, хто починає вивчати математику. Отже, Евклід був автором першого з відомих досі збірників математичних софізмів та парадоксів.

Нажаль, цей твір патріарха математики не дійшов до нас. Зате вимогливість Евкліда до строгості й культури міркувань знайшла численних послідовників, які зібрали й опублікували велику колекцію математичних софізмів і парадоксів.

 Людині властиво помилятися. Тому дуже важливо, щоб вона вміла виявляти свої та чужі помилки, вчилась уникати їх. Саме тут і стають у пригоді такі збірники, як «Псевдарій». Зрозуміло, що чим хитріший софізм, чим майстерніше замаскована помилка, тим більше задово­лення мають її шукачі, бо кожне спростування софізму – це насамперед маленьке відкриття і прекрасна школа культури міркувань.

ПАРАДОКС грецьке paradoxos – дивний, несподіваний) – несподівані явища або висловлювання, які формою або змістом суперечать нашим знанням і уявленням. У парадоксах можуть висловлюватись істинні думки, які дуже розходяться з нашими уявленнями або форма висловлювання яких несподівана. Здебільшого в парадоксах висловлюють неправильні твердження в зовнішньо переконливій формі.

СОФІЗМ  (від грецького sophistes – той хто вміє мудрувати, дотепно вигадувати) – логічно недостатній умовивід, в якому хибні посилки видаються за істинні або робиться висновок з порушенням законів логики.

Задачі-софізми

1. Із «Арифметики» М. П. Магніцького. Дехто продав коня за 156 крб. Однак покупець, придбавши коня, передумав його купувати і повернув продавцеві, кажучи:

 –  Нема рації мені купувати за цю ціну коня, бо він таких грошей не вартий.

Тоді продавець запропонував інші умови:

– Якщо, на твою думку, ціна коня надто велика, то купи лише цвяхи, що у його підковах, а коня дістанеш тоді на додачу безплатно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені лише копійки, за другий –  копійки, за третій 1 копійку і т. д.

Покупець, спокушений низькою ціною, . бажаючи даром дістати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше як 10 карбованців.

Скільки повинен заплатити покупець?

2. Підступний заповіт. Французька графиня Елізабет-Анжеліка де Боутвіль овдовіла в 20 років. її люблячий чоловік — губернатор Сенліса залишив такий заповіт: за перший рік після його смерті вдові має виплачуватися 1 золота монета, а якщо вона не вийде знову заміж, кожного наступного року вона має одержувати вдвічі більше, ніж попереднього. Графиня прожила ще 69 років і не вийшла знову заміж. На яку суму грошей вона отримала право?

3. Куди поділася 1 копійка? (Із задач Л. М. Толстого). Дві селянки продавали яблука, кожна по З0 штук. Перша продавала за 1 Копійку 2 штуки, а друга за 1 копійку –3 штуки. Перша вторгувала 15 копійок, друга – 10 копійок. Якось друга селянка не змогла піти на базар і попросила першу продавати її яблука. Та продавала 5 яблук за 2 копійки, оскільки вона за 1 копійку продавала свої 2 яблука, а її сусідка – за 1 копійку 3 яблука.

У першої селянки було тепер 60 яблук. Вона зробила 12 купок по 5 яблук, продала кожну за 2 копійки і була здивована,  що вторгувала не 25, а тільки 24копійки. Куди поділася 1 копійка?

4.  Де ще один франк? Ввечері до готелю французького міста приїхали три туристи. Господар повідомив, що нічліг буде коштувати кожному 10 франків. Але коли гості розрахувалися і розмістилися в кімнатах, господар вирішив, що йому буде досить 25 франків і доручив посильному повернути туристам 5 франків. Посильний, не знаючи, як розділити 5 франків між трьома туристами, вирішив для простоти обчислень залишити собі 2 монети, а туристам повернув по одній монеті, і всі були задоволені.

Потім він підвів підсумок і був здивований, бо вийшло ось що: гості заплатили разом 9-3=27 фран­ків, два франки посильний залишив собі. Отже, всього від подорожніх одержали 27 + 2=29 франків. Але ж господар одержав спочатку З0 франків? Куди ж подівся 1 франк?

5. Описуючи життя Архімеда, римський історик Плутарх (50-125 pp.) стверджує, що великий математик вважав механізм важеля настільки досконалим, що сказав: «Дайте мені точку опори - і я зрушу Землю».

А якщо й справді мати десь поза Землею точку опори, то якої довжини повинно бути одне плече важеля, щоб другим кінцем підняти Землю на 1 см?

6. Один римлянин, вмираючи, залишив заповіт на користь своєї дружини і дитини, яка мала народитися. Якщо народиться син, йому належатиме 2/3 спадщини, а дружині –  1/3. Якщо ж народиться дочка, то вона має одержати 1/3 майна, а 2/3 – мати. Але дружина римлянина народила близнюків: хлопчика і дівчинку. Як розділити спадщину?

7.    Чи можна продати ціле яйце, продаючи по пів-яйця?

Продавщиця гастроному розповідала, що вона продала одному покупцеві половину всіх яєць і ще пів-яйця, другому –  половину залишку і ще пів-яйця, третьому –  половину другого залишку і ще пів-яйця, так само вона продавала четвертому, п'ятому і шостому покупцеві, після чого в ящику залишилося тільки одне яйце.

–  Не розповідайте байки, –  зауважив один із слухачів. – Як це ви могли продавати пів-яйця? –  Але я нікому й не продавала пів-яйця, а завжди тільки цілі, – здивувалася в свою чергу продавщиця, –  а все ж виходило, що продавала саме так, як розповідаю.

Як це могло бути?

8. Один кочівник заповів своїм трьом синам 17 верблюдів. Старшому –  половину всіх верблюдів, середньому –  третину, а молодшому –  дев'яту частину. Спантеличені нащадки довго сперечалися, як розділити спадщину. Випадково до них підійшов дідусь, ведучи старого знесиленого верблюда, і взявся розділитиспадщину, віддавши братам і власного верблюда.

Тоді із усіх 18 верблюдів старший дістав згідно із заповітом 9 (половину), середній 6 (третину), а молодший –  2 (дев'яту частину). Брати були дуже задоволені, дідусь теж, бо при цьому залишився один добре вгодований верблюд, з яким дідусь і продовжив свій шлях. Як це могло трапитися?

Парадокси математики